携帯のメール（docomo・au・SoftBank）で登録しても大丈夫ですか

大丈夫です。そのまま旧アプリと同じアドレスで登録してください。

Gmail などに変えてしまうと、過去の記録を引き継げなくなります。

先に受信の設定をしておくと確実です

迷惑メール設定で、次のドメインからのメールを受信できるようにしてください。

log-one.jp

登録するときは「@」を付けず、この文字だけを入れます（ドメイン指定）。

携帯会社ごとの詳しい手順は、登録とメール確認の詳しい手順にまとめています。